Question

（本小題14分）

某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬元～1000萬元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過9萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%．

（1）若建立函數(shù)模型制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，試用數(shù)學(xué)語言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型的基本要求；

（2）現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：（1）y＝；（2）y＝4lgx－3．試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？

 

Answer 1

【答案】

 

（1）當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①f（x）是增函數(shù)；②f（x）≤9恒成立；③恒成立

（2）所以g（x）在[10，1000]上是減函數(shù)，從而g（x）≤g（10）＝－1＜0．

所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，所以恒成立

【解析】解：（1）設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y＝f（x），則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：

當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①f（x）是增函數(shù)；②f（x）≤9恒成立；③恒成立…5分

（2）①對(duì)于函數(shù)模型：

當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f（x）是增函數(shù)，     …………………… 6分

則．所以f（x）≤9恒成立．… 8分                      因?yàn)楹瘮?shù)在[10，1000]上是減函數(shù)，所以．

從而，即不恒成立．

故該函數(shù)模型不符合公司要求．       ………………………… 10分

②對(duì)于函數(shù)模型f（x）＝4lgx－3：

當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f（x）是增函數(shù)，            …………… 11分

則．所以f（x）≤9恒成立．……… 13分                       

設(shè)g（x）＝4lgx－3－，則．

當(dāng)x≥10時(shí)，，

所以g（x）在[10，1000]上是減函數(shù)，從而g（x）≤g（10）＝－1＜0．

所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，所以恒成立．

故該函數(shù)模型符合公司要求．………………………… 15分