Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若x∈（-∞，0]時(shí)f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，，，由此能推導(dǎo)出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ln（1-x）+x，，函數(shù)f（x）在（-∞，0]增函數(shù)，不合題意；當(dāng)a≠0，，由此進(jìn)行分類(lèi)討論，能求出a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，，
其定義域?yàn)閧x|x＜1，且x≠-1}．
∴，…（2分）
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-3），（0，1）為減函數(shù)，
在（-3，-1），（-1，0）為增函數(shù)．…（4分）
（Ⅱ）解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ln（1-x）+x，
，
∵x∈（-∞，0]，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）在（-∞，0]增函數(shù)，
故f（x）≤f（0）=0，不合題意，所以a≠0．…（6分）
（2）若a≠0時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，，x∈（-∞，0]時(shí)，f'（x）≤0，
故f（x）在（-∞，0]為減函數(shù)，從而f（x）≥f（0）=0恒成立．…（8分）
②當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則在上存在x，使f（x）＜f（0）=0，故不符合題意．
③當(dāng)a＜0時(shí)，∵，∴．
函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增，
則在、上存在x，使f（x）＜f（0）=0，故不符合題意．
綜上，a的取值范圍是{a|}．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查使得不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用，合理地運(yùn)用分類(lèi)討論思想解題．