Question

11．某哨所接到位于正西方向、正東方向兩個(gè)觀測點(diǎn)的報(bào)告，正東方向觀測點(diǎn)聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間比正西方向觀測點(diǎn)晚4s．己知兩個(gè)觀測點(diǎn)到哨所的 距離都是1020m．
（1）爆炸點(diǎn)在怎樣的曲線上，為什么？
（2）已知，哨所正北方向也有一個(gè)觀測點(diǎn)，它到哨所的距離也是1020m，哨所接到報(bào)告知道，該觀測點(diǎn)與正西方向觀測點(diǎn)同時(shí)聽到爆炸聲，試確定爆炸點(diǎn)的位置．
（約定：觀測點(diǎn)均在同一平面上，哨所和觀測點(diǎn)均視為不計(jì)大小的點(diǎn)，聲音傳播的速度為340m/s）

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的定義進(jìn)行判斷；
（2）以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點(diǎn)，則A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020），P（x，y）為巨響為生點(diǎn)，由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，依題意能求出雙曲線方程，從而確定該巨響發(fā)生的位置．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y）為巨響為生點(diǎn)，由A、C同時(shí)聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=-x，因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽到爆炸聲，故|PB|-|PA|=340×4=1360
由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線如圖，
（2）以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點(diǎn)，則A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020），
依題意得a=680，c=1020，∴b²=c²-a²=1020²-680²=5×340²
故雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{68{0}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{5×34{0}^{2}}$=1
用y=-x代入上式，得x=±680$\sqrt{5}$，
∵|PB|＞|PA|，
∴x=-680$\sqrt{5}$，y=680$\sqrt{5}$，故PO=680$\sqrt{10}$m
答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北45^°距中心680$\sqrt{10}$m處．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)由題設(shè)條件作出圖形，數(shù)形結(jié)合效果很好．