【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥AB,PA⊥AD.
(Ⅰ)求證:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)已知PA=AD,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=2:1.
(ⅰ)若點(diǎn)F在棱PA上,且PF:FA=2:1,求證:EF∥平面ABCD;
(ⅱ)求二面角D﹣AC﹣E的余弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)(ⅰ)證明見解析,(ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)利用線面垂直的判定定理即可證出.
(Ⅱ)(ⅰ)利用線面平行的判定定理即可證出;
(ⅱ)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面ACE的一個(gè)法向量以及平面ADC的一個(gè)法向量,利用空間向量的數(shù)量積即可求出.
證明:(Ⅰ)∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB∩AD=A,
∴PA⊥平面ABCD.
(Ⅱ)(ⅰ)PA=AD,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=2:1.
點(diǎn)F在棱PA上,且PF:FA=2:1,
∴EF∥AD,
∵EF平面ABCD,AD平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
解:(ⅱ)∵在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥AB,PA⊥AD,
PA=AD,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=2:1.
∴以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)PA=AD=3,則A(0,0,0),C(3,3,0),E(0,2,1).
(3,3,0),(0,2,1),
設(shè)平面ACE的法向量(x,y,z),
則,取x=1,得(1,﹣1,2),
平面ADC的法向量(0,0,1),
設(shè)二面角D﹣AC﹣E的平面角為α,
則cosα.
∴二面角D﹣AC﹣E的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓:,動(dòng)點(diǎn),線段與圓相交于點(diǎn),線段的長度與點(diǎn)到軸的距離相等.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交曲線于,兩點(diǎn),交圓于,兩點(diǎn),其中在線段上,在線段上,求的最小值及此時(shí)直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍.實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況,統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例.得到如下餅圖:
則下面結(jié)論中不正確的是
A. 新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入減少
B. 新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以上
C. 新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入增加了一倍
D. 新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某調(diào)查機(jī)構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布條形圖,則下列結(jié)論中不一定正確的是( )
A. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中后占一半以上
B. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的
C. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)后比前多
D. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)后比后多
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,對該校300名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時(shí)間單位:分鐘).
平均每天鍛煉的時(shí)間/分鐘 | ||||||
總?cè)藬?shù) | 34 | 51 | 59 | 66 | 65 | 25 |
將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.
(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表;
鍛煉不達(dá)標(biāo) | 鍛煉達(dá)標(biāo) | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 40 | 160 | |
合計(jì) |
(2)通過計(jì)算判斷,是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?
參考公式:,其中.
臨界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋,用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù);蘊(yùn)含了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息,現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計(jì)圖,其中的4個(gè)小圓均過正方形的中心,且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊.若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓 的長軸,長為4,過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為()的直線交橢圓于、兩點(diǎn),直線,的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線,直線,分別與相交于、兩點(diǎn),設(shè)為線段的中點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,為其右焦點(diǎn),若,設(shè),且,則該橢圓的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有極值點(diǎn),有兩個(gè)零點(diǎn),且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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