Question

已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量

m

=（2cos²

A

2

，1），

n

=（3，cos2A），

m

•

n

=4．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若b-c=1，a=3，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運用向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式以及二倍角的余弦公式，化簡即可求得cosA，進(jìn)而得到A；
（Ⅱ）運用三角形的余弦定理和面積公式，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由于向量

m

=（2cos²

A

2

，1），

n

=（3，cos2A），

m

•

n

=4．
即有6cos2

A

2

+cos2A=4，
即3（1+cosA）+2cos²A-1=4，
即有2cos²A+3cosA-2=0
則cosA=

1

2

，A為三角形的內(nèi)角，
則A=

π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b-c)2+2bc-a2

2bc

，
由于b-c=1，a=3，
則

1

2

=

1+2bc-9

2bc

即有bc=8
故△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=2

3

．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式和三角函數(shù)的恒等變換公式，考查余弦定理和面積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．