已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x＝1時(shí)，f(x)取極小值．

(1)求f(x)的解析式；

(2)當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？證明你的結(jié)論；

(3)(只理科做)若時(shí)，求證：．

答案：
解析：

(1)∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(0)＝0，即4d＝0，∴d＝0．又f(－1)＝－f(1)，即－a－2b－c＝－a＋2b－c，∴b＝0∴，，∵x＝1時(shí)，f(x)取極小值，∴3a＋c＝0且

解得，．∴．

(2)當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，圖象上不存在這樣的兩點(diǎn)使得結(jié)論成立．假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，由f(x)知切線斜率都存在，則由知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為．

，且．∵，

∴．∴，此與(*)矛盾，故假設(shè)不成立．

(3)(只理科做)．

令，得x＝±1．

∴x∈(－∞，－1)或x∈(1，＋∞)時(shí)，．x∈(－1，1)時(shí)．

∴f(x)在[－1，1]上是減函數(shù)，且．．

∴在[－1，1]上．于是時(shí)，

．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足下列條件：
①對(duì)任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2）；
③y=f（x+1）是偶函數(shù)，
則下列不等式中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=
f(x-1)-f(x-2)，x＞0
log2(1-x)，       x≤0
  則：
①f（3）的值為
0
0
，
②f（2011）的值為
-1
-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]時(shí)f(x)=
1，(-1＜x≤0)
-1，(0＜x≤1)
，則f（3）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，對(duì)x∈R都有f（2+x）=f（2-x），當(dāng)f（-3）=-2時(shí)，f（2013）的值為（　�。�
A、-2B、2C、4D、-4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，則f（2013）=（　　）
A、0B、2013C、3D、-2013

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