Question

對于數(shù)列{a_n}，定義數(shù)列{a_n+1-a_n}為數(shù)列{a_n}的“差數(shù)列”，若a₁=1，{a_n}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為a_n+1-a_n=2ⁿ，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n+1-a_n=2ⁿ，利用累加求和法得到a_n=2ⁿ-1，由此能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：∵a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+2^n-3+…+2+1
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-n-2．
故答案為：2ⁿ⁺¹-n-2．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加求和法的合理運(yùn)用．