Question

如圖，直三棱柱A′B′C′-ABC，延長CB到點D，使BD=BC，點E為A′D的中點，∠ABC=90°，AB=BC=

2

，A′A=2．
（Ⅰ）證明：BE∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱錐A′-EB′C的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明BE∥A′C，即可證明BE∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）轉(zhuǎn)換底面求三棱錐A′-EB′C的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵E、B分別為A′D、DC的中點，
∴BE∥A′C                   …（2分）
又A′C?平面A′ACC′，且BE?平面A′ACC′，
∴BE∥平面A′ACC′．                      …（6分）
（Ⅱ）解：∵AB=BC=

2

 ，  ∠ABC=90° ，  ∴AC=A′A=2，
∵ABC-A'B'C'為直三棱柱，∴∠A'B'C'=90°，∴A'B'⊥B'C'，
又BB'⊥平面A'B'C'，∴A'B'⊥B'B
∴A'B'⊥平面BCC'B'．…（8分）
∴VA′-EB′C=VB′-A′EC=

1

2

VB′-A′DC=

1

2

VA′-B′DC．                           　 　…（10分）
=

1

2

[

1

3

×(

1

2

×2

2

×2)

2

]=

2

3

．…（12分）

點評：本題考查線面平行，考查三棱錐A′-EB′C的體積，正確運用線面平行的判定定理是關(guān)鍵．