Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，一條準(zhǔn)線為l：x=4，若橢圓C與x軸交于A、B兩點，P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線PA交直線l于點M，直線PB交直線l于點N，記直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求k₁•k₂的值；
（3）求證：以MN為直線的圓過x軸上的定點，并求出定點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4，能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則k1=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

，由此能求出k1k2=

3 4 (4-x02)

x02-4

=-

3

4

．
（3）設(shè)M（4，y₁），N（4，y₂），則k1=kAM=

y1

6

，k2=kAN=

y2

2

，從而y₁y₂=-9，由此能證明以MN為直線的圓過x軸上的定點（7，0），（1，0）．

解答： （1）解：∵

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4，解得a=2，c=1，
∴b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）解：設(shè)P（x₀，y₀），∵A（-2，0），B（2，0），
∴k1=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

，
∴k1k2=

y02

x02-4

，
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，∴

x02

4

+

y02

3

=1，
∴y02=

3

4

(4-x02)，
∴k1k2=

3 4 (4-x02)

x02-4

=-

3

4

．
（3）證明：設(shè)M（4，y₁），N（4，y₂），
則k1=kAM=

y1

6

，k2=kAN=

y2

2

，
∴k₁k₂=

y1y2

12

，
又k1k2=-

3

4

，∴

y1y2

12

=-

3

4

，∴y₁y₂=-9，
∵MN的中點為Q（4，

y1+y2

2

），NM=|y₁-y₂|，
∴以MN為直徑的圓方程為(x-4)2+(y-

y1+y2

2

)2=

(y1-y2)2

4

，
令y=0，得（x-4）²=-y₁y₂=9，
解得x=1或x=7，
∴以MN為直線的圓過x軸上的定點（7，0），（1，0）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的斜率乘積為定值的求法，考查以MN為直線的圓過x軸上的定點的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．