Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（1-$\frac{1}{x}$）．
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥0，對(duì)任意的x≥1均成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：（$\frac{2016}{2015}$）¹⁰⁰⁸＞e${\;}^{\frac{1}{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）化簡(jiǎn)可得a（x-1）≤xlnx，從而討論，當(dāng)x＞1時(shí)，化為a≤$\frac{xlnx}{x-1}$，從而令f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，從而化為函數(shù)的最值問(wèn)題；
（3）根據(jù)lnx＞1-$\frac{1}{x}$，（x＞1），取x=1+$\frac{1}{2015}$，代入整理即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），a=1時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，
f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）；
（2）∵ln x-a（1-$\frac{1}{x}$）≥0，
∴l(xiāng)n x-a•$\frac{x-1}{x}$≥0，
∴a（x-1）≤xlnx，
①當(dāng)x=1時(shí)，上式成立；
②當(dāng)x＞1時(shí)，上式可化為a≤$\frac{xlnx}{x-1}$，
令f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，則f′（x）=$\frac{x-lnx-1}{{（x-1）}^{2}}$，
令g（x）=x-lnx-1，則g′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，
故g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故g（x）＞g（1）=1-0-1=0，
故f′（x）＞0，
故f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$在（1，+∞）上是增函數(shù)，
而 $\underset{lim}{x→1}$f（x）=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{xlnx}{x-1}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{lnx+1}{1}$=1，
故a≤1；
綜上所述，a≤1．
（3）由（2）得a=1時(shí)，lnx-a（1-$\frac{1}{x}$）≥0對(duì)任意的x≥1均成立，
∴l(xiāng)nx＞1-$\frac{1}{x}$，（x＞1），
取x=1+$\frac{1}{2015}$，則ln（1+$\frac{1}{2015}$）＞1-$\frac{1}{1+\frac{1}{2015}}$，
即ln$\frac{2016}{2015}$＞$\frac{1}{2016}$，
∴$\frac{2016}{2015}$＞${e}^{\frac{1}{2016}}$，
∴（$\frac{2016}{2015}$）¹⁰⁰⁸＞e${\;}^{\frac{1}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問(wèn)題與最值問(wèn)題的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用．同時(shí)考查了洛比達(dá)法則的應(yīng)用．