Question

正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點P、Q，且AP=DQ.求證：PQ∥平面BCE.

Answer 1

證明略

  方法一 如圖所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，連接MN.


∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB，∴AE=BD.

又∵AP=DQ，∴PE=QB，
又∵PM∥AB∥QN，
∴，，，∴PM   QN，
∴四邊形PMNQ為平行四邊形，∴PQ∥MN.
又MN平面BCE，PQ平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
方法二 如圖所示，連接AQ，并延長交BC于K，連接EK，
∵AE=BD，AP=DQ，
∴PE=BQ，
∴=                                       ①
又∵AD∥BK，∴=                           ②
由①②得=，∴PQ∥EK.
又PQ平面BCE，EK平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
方法三 如圖所示，在平面ABEF內，過點P作PM∥BE，交AB于點M，
連接QM.
∵PM∥BE，PM平面BCE，
即PM∥平面BCE，
∴=                                   ①
又∵AP=DQ，∴PE=BQ，
∴=                                   ②
由①②得=，∴MQ∥AD，
∴MQ∥BC，又∵MQ平面BCE，∴MQ∥平面BCE.
又∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCE，
PQ平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.