Question

4．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖（1）所示，它的俯視圖的直觀圖是△A′B′C′，如圖（2）所示，其中O′A′=O′B′=2，O′C′=$\sqrt{3}$，則該幾何體的外接球的表面積為$\frac{112π}{3}$．

Answer 1

分析 由斜二測(cè)畫(huà)法易知，該幾何體的俯視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體是如下圖所示的高為4的三棱錐D-ABC，將其補(bǔ)形為三棱柱ABC-EDF，求出該外接球的半徑即可求出該幾何體的外接球的表面積．

解答 解：由斜二測(cè)畫(huà)法易知，該幾何體的俯視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體是如下圖所示的高為4的三棱錐D-ABC，將其補(bǔ)形為三棱柱ABC-EDF，設(shè)球心為O，△EDF的中心為O₁，
則O₁E=$\frac{2}{3}$DEsin60°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以該幾何體的外接球的半徑R=OE=$\sqrt{4+（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{28}{3}}$，
其表面積為S=4πR²=$\frac{112π}{3}$．
故答案為：$\frac{112π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用空間幾何體的三視圖求幾何體外接圓的表面積的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．