Question

9．已知正實數(shù)x，y滿足xy=x+2y+6，則$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 首先左邊是xy的形式右邊是2x+y和常數(shù)的和的形式，考慮把右邊也轉(zhuǎn)化成xy的形式，使形式統(tǒng)一．可以猜想到應(yīng)用基本不等式，轉(zhuǎn)化后變成關(guān)于xy的方程，可把xy看成整體換元后求最小值，再根據(jù)基本不等式即可求出$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$的最小值．

解答 解：由條件利用基本不等式可得xy=2x+y+6≥2$\sqrt{2xy}$+6，
令xy=t²，即t=$\sqrt{xy}$＞0，可得t²-2$\sqrt{2}$t-6≥0．
即得到（t-3$\sqrt{2}$）（t+$\sqrt{2}$）≥0，可解得t≤-$\sqrt{2}$或t≥3$\sqrt{2}$．
又注意到t＞0，故解為t≥3$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{xy}$≥3$\sqrt{2}$，
∴xy≥18
∵xy=x+2y+6，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$+$\frac{3}{xy}$，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2y}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{xy}$≥$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$
故選：C．

點評 本題主要考查了用基本不等式解決最值問題的能力，以及換元思想和簡單一元二次不等式的解法，屬中檔題．