Question

1．設(shè)|$\overline{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$）=$\frac{π}{6}$，求$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$和$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$為邊的平行四邊形的面積．

Answer 1

分析 由向量的數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overline{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$）=4×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，分別求得$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$和$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$的模和數(shù)量積，再由平行四邊形的面積S=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|•sin＜$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$＞，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overline{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$）=4×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
即有|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{16+4×6\sqrt{3}+4×9}$=$\sqrt{52+24\sqrt{3}}$，
|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow+9{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{16-6×6\sqrt{3}+9×9}$=$\sqrt{97-36\sqrt{3}}$，
（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-6$\overrightarrow$²=16-6$\sqrt{3}$-6×9=-38-6$\sqrt{3}$，
即有$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$和$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$為邊的平行四邊形的面積為
S=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|•sin＜$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$＞=$\sqrt{|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{|}^{2}•|\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{|}^{2}-（（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-3\overrightarrow））^{2}}$
=$\sqrt{（52+24\sqrt{3}）（97-36\sqrt{3}）-（-38-6\sqrt{3}）^{2}}$=30．

點(diǎn)評 本題考查平行四邊形的面積的求法，注意運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．