已知點(diǎn)O（0，0），A（2，3），B（5，4），C（7，10），若
AP
=
AB
+λ
AC
（λ∈R）
（1）是否存在λ，使得點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上？
（2）是否存在λ，使得四邊形OBPA為平行四邊形？（若存在，則求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．）
考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算、向量相等即可得出；
（2）利用“反證法”，再利用向量的平行四邊形法則得出矛盾即可．
解答： 解：（1）存在．
設(shè)P（x，y），則
AP
=(x-2，y-3)，
∵
AB
=(3，1)，
AC
=(5，7)，
由
AP
=
AB
+λ
AC

可得
x-2=3+5λ
y-3=1+7λ
，⇒
x=5+5λ
y=4+7λ

若點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上，
則x=y，即5+5λ=4+7λ，解得λ=
1
2
．
∴存在λ=
1
2
，使得點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上．
（2）不存在．
若四邊形OBPA為平行四邊形，則
OP
=
OA
+
OB
，
∵
OA
+
OB
=(7，7)，
∴
x=5+5λ=7
y=4+7λ=7
，無解．
因此不存在λ，使得四邊形OBPA為平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算、向量相等、“反證法”、向量的平行四邊形法則等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0．
（1）令ω=
1
2
，求函數(shù)F（x）=f（x）+f（x+π）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位，再往上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．對(duì)任意的a∈R，求y=g（x）在區(qū)間[a，a+10π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值．

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若a、b∈R+，求證：（a+b）（a3+b3）≥（a2+b2）2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知p：{x|
x+2≥0
x-10≤0
}，q：{x|1-m≤x≤1+m，m＞0}．
（1）若m=1，則p是q的什么條件？
（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin2（x-
π
4
）+
3
cos2x-3
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[
π
4
，
π
2
]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
1
2
x2-2x，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知1+i是方程x2+bx+c=0的一個(gè)根（b、c為實(shí)數(shù)）．
（1）求b，c的值；
（2）試說明1-i也是方程的根嗎？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且滿足Sn=
1
2
a
 
2
n
+
n
2
（n∈N*）．
（Ⅰ）計(jì)算a1，a2，a3的值，猜想{an}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)Tn是數(shù)列{
1
a
2
n
}的前n項(xiàng)和，證明：Tn＜
4n
2n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓E：
x2
16
+
y2
4
=1內(nèi)有一點(diǎn)P（2，1），則經(jīng)過P并且以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案