已知數(shù)列{xn}滿足:x1∈(0,1),xn+1=
xn(
x
2
n
+3)
3
x
2
n
+1
(n∈N*
).
(1)證明:對任意的n∈N*,恒有xn∈(0,1);
(2)對于n∈N*,判斷xn與xn+1的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)驗證n=1時成立,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明,假設(shè)xk∈(0,1),證明xk+1也滿足0,1),即可證明問題成立.
(2)通過做差,根據(jù)xn∈(0,1)說明xn<xn+1(n∈N*)即可.
解答:解:(1)證明:①當(dāng)n=1時,x1∈(0,1)成立,
②設(shè)xk∈(0,1),則xk+1>0顯然成立,
xk+1-1=
xk(
x
2
k
+3)
3
x
2
1
+1
-1=
(xk-1)3
3
x
2
1
+1
<0
…(6分)
故xk+1∈(0,1)也成立
由①②知對任意n∈N*,恒有xn∈(0,1).…(8分)
(2)xn+1-xn=
xn(
x
2
n
+3)
3
x
2
n
+1
-xn=
2xn(1+xn)(1-xn)
2
x
2
n
+1

由于xn∈(0,1)(n∈N*),∴1-xn>0,∴
2xn(1+xn)(1-xn)
2
x
2
n
+1
>0,
故xn與xn+1的大小為xn<xn+1(n∈N*).…(12分)
點評:本題是中檔題,考查數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,比較大小的基本方法--作差法的應(yīng)用,考查計算能力.
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10、已知數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn,則下面正確的是( 。

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已知數(shù)列{xn}滿足x2=
1
2
x1,xn=
1
2
(xn-1+xn-2)(n=3,4,5,…),若
lim
n→∞
xn=2
,則x1=
 

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數(shù)列{an}中,如果存在非零常數(shù)T,使得an+T=an對于任意的非零自然數(shù)n均成立,那么就稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列,其中T叫做數(shù)列{an}的周期.已知數(shù)列{xn}滿足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2),如果x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),當(dāng)數(shù)列{xn}的周期為3時,求該數(shù)列前2009項和是
1339+a
1339+a

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已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1且xn+1=
xn+4
xn+1
,n∈N*

(1)計算x2,x3,x4的值;
(2)試比較xn與2的大小關(guān)系;
(3)設(shè)an=|xn-2|,Sn為數(shù)列{an}前n項和,求證:當(dāng)n≥2時,Sn≤2-
2
2n

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