Question

【題目】近年來，霧霾日趨嚴(yán)重，我們的工作、生活受到了嚴(yán)重的影響，如何改善空氣質(zhì)量已成為當(dāng)今的熱點(diǎn)問題．某空氣凈化器制造廠，決定投入生產(chǎn)某型號(hào)的空氣凈化器，根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)該型號(hào)空氣凈化器x（百臺(tái)），其總成本為P（x）（萬元），其中固定成本為12萬元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為10萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．銷售收入Q（x）（萬元）滿足Q（x）= ，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)以述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問題：
（1）求利潤函數(shù)y=f（x）的解析式（利潤=銷售收入﹣總成本）；
（2）工廠生產(chǎn)多少百臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使利潤最多？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得P（x）=12+10x，

則f（x）=Q（x）﹣P（x）=

即為f（x）=

（2）解：當(dāng)x＞16時(shí)，函數(shù)f（x）遞減，即有f（x）＜f（16）=212﹣160=52萬元

當(dāng)0≤x≤16時(shí)，函數(shù)f（x）=﹣0.5x2+12x﹣12

=﹣0.5（x﹣12）2+60，

當(dāng)x=12時(shí)，f（x）有最大值60萬元．

所以當(dāng)工廠生產(chǎn)12百臺(tái)時(shí)，可使利潤最大為60萬元．

【解析】1、根據(jù)題意可得f（x）=Q（x）﹣P（x），整理成最簡的分段函數(shù)。
2、由函數(shù)的增減性可求得，當(dāng)x＞16時(shí)，函數(shù)f（x）遞減，即有f（x）＜f（16）=212﹣160=52萬元；再根據(jù)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值求得，當(dāng)0≤x≤16時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值60萬元，綜上各式求得當(dāng)工廠生產(chǎn)12百臺(tái)時(shí)，可使利潤最大為60萬元。