Question

12．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）
（1）若b=2a，a＜0寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若a=1，c=2，若存在實(shí)數(shù)b使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若b=2a，a＜0，則二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c=ax²+2ax+c的圖象是開口朝下，且以直線x=-1為對(duì)稱軸的拋物線，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若a=1，c=2，則二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c=x²+bx+2，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則$\left\{\begin{array}{l}△=^{2}-8＞0\\-\frac{2}∈（0，2）\\ f（2）=6+2b＞0\end{array}\right.$，解得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）若b=2a，a＜0，
則二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c=ax²+2ax+c的圖象是開口朝下，且以直線x=-1為對(duì)稱軸的拋物線，
此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1，+∞），
（2）若a=1，c=2，則二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c=x²+bx+2，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}△=^{2}-8＞0\\-\frac{2}∈（0，2）\\ f（2）=6+2b＞0\end{array}\right.$，
解得：b∈（-3，-2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．