Question

10．設(shè)F為拋物線C：y²=2px的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為60°的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在第一象限，A點(diǎn)在第四象限），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過A作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，則|OB|與|OM|的比為3．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線AB的方程，代入拋物線方程，消去x，求得y₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，y₂=$\sqrt{3}$p，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答 解：拋物線C：y²=2px的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，
設(shè)直線AB：y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
聯(lián)立拋物線方程$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，消去x，可得$\sqrt{3}$y²-2py-$\sqrt{3}$p²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，y₂=$\sqrt{3}$p，
由M（-$\frac{p}{2}$，y₁），
則|OM|=$\sqrt{（\frac{p}{2}）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{6}$p，
|OB|=$\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{y}_{2}^{4}}{4{p}^{2}}+{y}_{2}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9{p}^{4}}{4{p}^{2}}+3{p}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$p，
即有|OB|=3|OM|．
|OB|與|OM|的比為3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程的運(yùn)用，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．