Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）=-f（$\frac{π}{6}$），且f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)，則f（x）的最小正周期是（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． π

Answer 1

分析 由f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）求出函數(shù)的一條對稱軸，結(jié)合f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上具有單調(diào)性，且f（$\frac{π}{2}$）=-f（$\frac{π}{6}$），可得函數(shù)的半周期，則周期可求．

解答 解：由f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）得函數(shù)關(guān)于x=$\frac{\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{7π}{12}$對稱，
則x=$\frac{π}{2}$離最近對稱軸距離為$\frac{7π}{12}-\frac{π}{2}=\frac{π}{12}$．
又f（$\frac{π}{2}$）=-f（$\frac{π}{6}$），則f（x）有對稱中心（$\frac{π}{3}$，0），
由于f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上具有單調(diào)性，
則$\frac{π}{2}-\frac{π}{6}$≤$\frac{1}{2}$T⇒T≥$\frac{2π}{3}$，從而$\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}$=$\frac{T}{4}$⇒T=π．
故選：D．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用條件求出函數(shù)的對稱軸和對稱中心，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．