Question

11．已知橢圓E的方程是$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$，直線x=0與E交于點A，B，直線x=2與E交于點C，D．
（1）求同時經(jīng)過A，B，C，D四個點的圓的方程；
（2）動圓M與（1）中的圓外切，且與直線x=-4相切，問動圓M的圓心在什么曲線上運動？

Answer 1

分析 （1）由x=0，x=2代入橢圓方程，可得A，B，C，D的坐標，再設所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入點的坐標，解方程即可得到所求圓的方程；
（2）設動圓的圓心為M（m，n），半徑為r，運用兩圓相切的條件和直線和圓相切的條件，可得m，n的關系式，化簡可得M的軌跡．

解答 解：（1）由x=0可得y=±$\sqrt{2}$，即有A（0，$\sqrt{2}$），B（0，-$\sqrt{2}$），
令x=2，代入橢圓方程可得y=±1，即為C（2，1），D（2，-1），
設所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
易得E=0，2+$\sqrt{2}$E+F=0，5+2D+E+F=0，
解得D=-$\frac{3}{2}$，F(xiàn)=-2，
即有圓的方程為x²+y²-$\frac{3}{2}$x-2=0；
（2）設動圓的圓心為M（m，n），半徑為r，
由x²+y²-$\frac{3}{2}$x-2=0，可得圓心為（$\frac{3}{4}$，0），半徑為$\frac{\sqrt{41}}{4}$，
由外切的條件可得，$\sqrt{（m-\frac{3}{4}）^{2}+{n}^{2}}$=r+$\frac{\sqrt{41}}{4}$，
由直線和圓相切的條件可得，|m+4|=r，
即為$\sqrt{（m-\frac{3}{4}）^{2}+{n}^{2}}$=|m+4|+$\frac{\sqrt{41}}{4}$，
化簡可得n²=$\frac{19+\sqrt{41}}{2}$m+18+2$\sqrt{41}$（m≥-4），
或n²=$\frac{19-\sqrt{41}}{2}$m+18-2$\sqrt{41}$（m＜-4）．
則動圓M的圓心在拋物線上運動．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查圓的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，同時考查直線和圓，圓與圓的位置關系，屬于中檔題．