Question

14．已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且2a₁，$\frac{1}{2}$，3a₂成等差數(shù)列．a(chǎn)₂，$\frac{1}{3}$a₃，a₆成等比數(shù)列；
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）已知b_n=log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$，記c_n=a_n•b_n，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）記數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，從而可得2a₁+3•a₁q=2×$\frac{1}{2}$；（a₁q）（a₁q⁵）=（$\frac{1}{3}$a₁q²）²；從而求通項公式；
（Ⅱ）化簡b_n=log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$=log₃3ⁿ=n，c_n=a_n•b_n=n$\frac{1}{{3}^{n}}$；根據(jù)通項公式可知利用錯位相減法求和．

解答 解：（I）記數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
∵2a₁，$\frac{1}{2}$，3a₂成等差數(shù)列，
∴2a₁+3•a₁q=2×$\frac{1}{2}$；
∵a₂，$\frac{1}{3}$a₃，a₆成等比數(shù)列；
∴（a₁q）（a₁q⁵）=（$\frac{1}{3}$a₁q²）²；
解得，a₁=$\frac{1}{3}$，q=$\frac{1}{3}$；
故a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
（Ⅱ）b_n=log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$=log₃3ⁿ=n，
故c_n=a_n•b_n=n$\frac{1}{{3}^{n}}$；
T_n=$\frac{1}{3}$+2$\frac{1}{{3}^{2}}$+3$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+n$\frac{1}{{3}^{n}}$；
3T_n=1+2$\frac{1}{3}$+3$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+n$\frac{1}{{3}^{n-1}}$；
2T_n=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-n$\frac{1}{{3}^{n}}$
=$\frac{1（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n$\frac{1}{{3}^{n}}$，
故T_n=$\frac{3（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{4}$-$\frac{1}{2}$n$\frac{1}{{3}^{n}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用及錯位相減法的應(yīng)用．