Question

首項為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，滿足a_k-3=8且a_ka_k-2=

a

2 6

=1024．對滿足a_t＞128的任意正整數(shù)t，函數(shù)f（t）=

k+t

k-t

的最小值是

-8

．

Answer 1

分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得k=7，求得a₄和a₆的值，從而求得公比及通項公式，得到滿足a_t＞128=2⁷ 的t的最小值等于 9，利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值．

解答：解：由題意有可得k+k-2=12，∴k=7，∴a₄=8．
又a₆²=1024，∴a₆=32，
又首項為正數(shù)，故數(shù)列{a_n}為正項數(shù)列，∴公比q=2，a_n=a₄•q^n-4=8×2^n-4=2^n-1，
故滿足a_t＞128=2⁷的正整數(shù)t≥9，
∵f（t）=

k+t

k-t

=

7+t

7-t

=-1-

14

t-7

，在[9，+∞）上是增函數(shù)，
∴t=9時，函數(shù)f（t）=

k+t

k-t

的最小值是-8，
故答案為：-8．

點評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．