Question

已知函數(shù)（且），.

（1）若在定義域上有極值，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，若對，總，使得，求實數(shù)的取值范圍；（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

（3）對，且，證明： .

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）這是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的常規(guī)題，值得注意的是在定義域上有極值，等價于在定義域內(nèi)有兩個不等的根，而不是在定義域內(nèi)有解；（2）分析題意，將問題成功地進行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為是解決問題的關(guān)鍵，接下來就是運用導(dǎo)數(shù)知識求兩個函數(shù)的最值，并進行比較得出參數(shù)的取值范圍；（3）這是賦有挑戰(zhàn)性的一個，詳見解析，但是我們要從中吸取一些對今后解題有幫助的東西，并注意一些知識的積累，如對，總有成立，它是如何證明的，從中知道是運用導(dǎo)數(shù)知識證明的，它又有什么作用，可以運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出一些新的不等式，這些對今后解題是很有幫助的.

試題解析：（1）的定義域為，要在定義域內(nèi)有極值，則

有兩不等正根，即有兩不等正根 4分

（2），要對，總，使得

則只需，由得函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)在處有最大值； 6分

，又在上遞減，故

故有 9分

（3）當(dāng)時，，恒成立，故在定義域上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，即 12分

所以對，總有，故有

14分

考點：1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2.參數(shù)范圍；3.不等式證明.