【題目】無窮數(shù)列滿足: 為正整數(shù),且對任意正整數(shù), 為前, , , 中等于的項的個數(shù).

)若,請寫出數(shù)列的前7項;

)求證:對于任意正整數(shù)必存在,使得;

)求證:“”是“存在,當時,恒有 成立”的充要條件。

【答案】(Ⅰ)2,1,1,2,2,3,1(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)證明見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題設(shè)條件,直接寫出即可;

(Ⅱ)假設(shè)存在正整數(shù),使得對任意的, ,利用反證法證明即可;

可分充分性和必要性證明即可,當,得數(shù)列滿足, ,當為偶數(shù),則;當為奇數(shù),則,即可證得充分性;再作出必要性的證明即可.

試題解析:

(Ⅰ)2,1,1,2,2,3,1

假設(shè)存在正整數(shù),使得對任意的, . 由題意,

考慮數(shù)列的前項:

, , ,,

其中至少有項的取值相同,不妨設(shè)

此時有: ,矛盾.

故對于任意的正整數(shù),必存在,使得.

(Ⅲ)充分性:

時,數(shù)列, , , , , ,, , , ,

特別地, , 故對任意的

1)若為偶數(shù),則

2)若為奇數(shù),則

綜上, 恒成立,特別地,取有當時,恒有成立

方法一:假設(shè)存在),使得存在,當時,恒有成立

則數(shù)列的前項為

, , , , , , ,

, , , ,, , ,

, , , ,

, , ,

, ,

后面的項順次為

, , ,, ,

, , ,, ,

, , ,, ,

……

對任意的總存在,使得 ,這與矛盾,故若存在,當時,恒有成立,必有

方法二:若存在,當時, 恒成立,記.

由第2問的結(jié)論可知:存在,使得(由s的定義知

不妨設(shè)是數(shù)列第一個大于等于的項,即均小于等于s.

.因為,所以,即為正整數(shù),所以.

,由數(shù)列的定義可知,在中恰有t項等于1.

假設(shè),則可設(shè),其中,

考慮這t1的前一項,即,

因為它們均為不超過s的正整數(shù),且,所以中一定存在兩項相等,

將其記為a,則數(shù)列中相鄰兩項恰好為(a,1)的情況至少出現(xiàn)2次,但根據(jù)數(shù)列的定義可知:第二個a的后一項應該至少為2,不能為1,所以矛盾!

故假設(shè)不成立,所以,即必要性得證!

綜上,存在,當時,恒有成立的充要條件.

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