Question

雙峰一中是蔡和森的母校，已有百多年歷史，學校教育教學質量穩(wěn)步提高，今年高考喜獲豐收，明年高考定會再創(chuàng)輝煌．為了貫徹全面發(fā)展的教育方針，學校決定新建造一個面積為10000平方米的運動場．如圖，運動場是由一個矩形ABCD和分別以AD、BC為直徑的兩個半圓組成．跑道是一條寬8米的塑膠跑道，運動場除跑道外，其他地方均鋪設草皮．已知塑膠跑道每平方米造價為150元，草皮每平方米造價為30元．
（1）設半圓的半徑OA=r（米），試建立塑膠跑道面積S與r的函數關系式S（r）；
（2）由于條件限制r∈[30，40]，問當r取何值時，運動場造價最低？最低造價是多少元？（精確到元，π≈3.1416）

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,函數模型的選擇與應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）由面積公式寫出S=π[r²-（r-8）²]+8×

10000-πr2

2r

×2，注明定義域；
（2）由函數的單調性求最值．

解答： 解：（1）塑膠跑道面積
S=π[r²-（r-8）²]+8×

10000-πr2

2r

×2
=

80000

r

+8πr-64π（0＜r＜

100

π

）；
（2）設運動場造價為y元；
y=150×（

80000

r

+8πr-64π）+30×（10000-

80000

r

-8πr+64π）
=300000+120（

80000

r

+8πr）-7680π；
∵r∈[30，40]；函數y是r的減函數，
∴當r=40時，運動場造價最低為626510元．

點評：本題考查了學生將實際問題轉化為數學問題的能力，同時考查了函數的單調性的應用，屬于中檔題．