Question

已知函數(shù) f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）在定義域內(nèi)為奇函數(shù)．
（1）確定函數(shù)的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）在[1，2]上的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，即可求得a，進而得到函數(shù)式；
（2）運用單調(diào)性的定義證明，注意作差和變形、定符號和下結(jié)論；
（3）由于函數(shù)f（x）在R上遞增，則f（x）在[1，2]上遞增，求出最小和最大值，即可得到值域．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，
即有a-

2

20+1

=0，解得，a=1，則f（x）=1-

2

2x+1

；
（2）證明：設m＜n，則f（m）-f（n）=1-

2

2m+1

-（1-

2

2n+1

）
=

2(2m-2n)

(1+2m)(1+2n)

，
由于m＜n，則2^m＜2ⁿ，即2^m-2ⁿ＜0，2^m＞0，2ⁿ＞0，
則f（m）-f（n）＜0，即有函數(shù)f（x）在R上遞增；
（3）解：由于函數(shù)f（x）在R上遞增，
則f（x）在[1，2]上遞增，即f（1）最小且為1-

2

3

=

1

3

，
f（2）最大且為1-

2

5

=

3

5

，
則值域為[

1

3

，

3

5

]．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，以及運用：求值域，考查運算能力，屬于中檔題．