Question

 （本題滿分18分，第（1）題5分，第（2）題8分，第（3）題5分）

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，值域?yàn)?sub>，如果存在函數(shù)，使得函數(shù)的值域仍然是，那么，稱函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)等值域變換，

（1）判斷下列是不是的一個(gè)等值域變換？說(shuō)明你的理由；

，；

，；

（2）設(shè)的值域，已知是的一個(gè)等值域變換，且函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，求實(shí)數(shù)的值；

（3）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，值域?yàn)?sub>，函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，值域?yàn)?sub>，寫出是的一個(gè)等值域變換的充分非必要條件（不必證明），并舉例說(shuō)明條件的不必要性．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）：函數(shù)的值域?yàn)?sub>，，，

所以，不是的一個(gè)等值域變換；      …………2分

：，即的值域?yàn)?sub>，

當(dāng)時(shí)，，即的值域仍為，

所以，是的一個(gè)等值域變換；              …………5分

（2）的值域?yàn)?sub>，由知，

即定義域?yàn)?sub>，                              …………6分

因?yàn)?sub>是的一個(gè)等值域變換，且函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，

所以，的值域?yàn)?sub>，            …………8分

，

所以，

恒有，且存在使兩個(gè)等號(hào)分別成立，………10分

于是，

解得 或…………13分

（3）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，值域?yàn)?sub>，函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，值域?yàn)?sub>，則是的一個(gè)等值域變換的充分非必要條件是“=”． …………15分

條件的不必要性的一個(gè)例子是．

，，

，，

此時(shí)，但的值域仍為，

即是的一個(gè)等值域變換。…………18分

（反例不唯一）