Question

已知在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，S_n表示前n項(xiàng)和且2

Sn

=a_n+1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

4Sn-1

為數(shù)列{b_n}}的前n項(xiàng)和，
（Ⅰ） 求a_n，S_n；
（Ⅱ）是否存在最大的整數(shù)t，使得對(duì)任意的正整數(shù)n均有Tn＞

t

36

總成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由2

Sn

=a_n+1，得S_n=（

an+1

2

）²，從而數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，由此能求出a_n，S_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

，由此能求出t=11符合題意．

解答： 解：（Ⅰ）由2

Sn

=a_n+1，
得S_n=（

an+1

2

）²，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=(

a1+1

2

)2，
解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（

an+1

2

）²-（

an-1+1

2

）²，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)為正，∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1-2=0，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）×2=2n-1，
∴S_n=

n(a1+an)

2

=

n[1+(2n-1)]

2

=n²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

，
∴數(shù)列{T_n}是增數(shù)列，
∴T₁是遞增數(shù)列，故T₁=

1

3

是最小值，
只需

1

3

＞

t

36

，即t＜12．
∴存在t=11符合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的合理運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．