Question

在△ABC中，余弦定理可敘述為a²＝b²＋c²－2bccosA．其中a、b、c依次為角A、B、C的對(duì)邊，類比以上定理，給出空間四面體性質(zhì)的猜想．

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖所示，S1、S2、S3、S分別表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面積，α、β、γ依次表示平面PAB與平面PBC，平面PBC與平面PCA，平面PCA與平面PAB所成二面角的大小，猜想余弦定理類比推理到三維空間的表現(xiàn)形式應(yīng)為 　　S2＝S12＋S22＋S32－2S1S2cosα－2S2S3cosβ－2S3S1cosγ． 　　上式可敘述為四面體的一個(gè)面的面積的平方，等于其他各面面積平方的和，減去每?jī)蓚�(gè)面面積與這兩個(gè)面夾角余弦乘積的兩倍． 　　關(guān)于三維余弦定理的證明問(wèn)題我們可以類比平面中的三角形射影定理來(lái)證明三角形余弦定理的方法，給出較簡(jiǎn)捷的方法． 　　先看由三角形射影定理證明其余弦定理的方法： 　　在△ABC中，a、b、c分別表示角A、B、C的對(duì)邊，則有 　　a＝bcosC＋ccosB　�、� 　　b＝ccosA＋acosC　�、� 　　c＝acosB＋bcosA　�、� 　　①×a－②×b－③×c可得 　　a2－b2－c2＝－2bccosA， 　　∴a2＝b2＋c2－2bccosA． 　　下面給出三維余弦定理的證明，如上圖，記號(hào)表示面積為S1和S2的兩個(gè)面所成的二面角大小，由三維射影定理可知： 　　S＝S1cos＋S2cos＋S3cos　�、� 　　S1＝S2cos＋S3cos＋Scos　�、� 　　S2＝S3cos＋Scos＋S1cos　�、� 　　S3＝Scos＋S1cos＋S2cos　�、� 　　①×S－②×S1－③×S2－④×S3可得 　　S2－S12－S22－S32 　�。剑�2S1S2cos－2S2S3cos－2S3S1cos 　�。剑�2S1S2cosα－2S2S3cosβ－2S3S1cosγ， 　　移項(xiàng)得欲證三維余弦定理．