Question

（2012•福州模擬）如圖①，一條寬為l km的兩平行河岸有村莊A和供電站C，村莊B與A、C的直線距離都是2km，BC與河岸垂直，垂足為D．現(xiàn)要修建電纜，從供電站C向村莊A、B供電．修建地下電纜、水下電纜的費(fèi)用分別是2萬元/km、4萬元/km
（Ⅰ）已知村莊A與B原來鋪設(shè)有舊電纜仰，需要改造，舊電纜的改造費(fèi)用是0.5萬元/km．現(xiàn)決定利用舊電纜修建供電線路，并要求水下電纜長度最短，試求該方案總施工費(fèi)用的最小值．
（Ⅱ）如圖②，點(diǎn)E在線段AD上，且鋪設(shè)電纜的線路為CE、EA、EB．若∠DCE=θ （0≤θ≤

P

3

），試用θ表示出總施工費(fèi)用y（萬元）的解析式，并求y的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得△ABC為等邊三角形．因?yàn)镃D⊥AD，所以水下電纜的最短線路為CD．過D作DE⊥AB于E，可知地下電纜的最短線路為DE、AB．由此能求出該方案的總費(fèi)用．
（Ⅱ）因?yàn)椤螪CE=θ，0≤θ≤

π

3

，所以CE=EB=

1

cosθ

，ED=tanθ，AE=

3

-tanθ．（7分）則y=2×

3-sinθ

cosθ

+2

3

，令g(θ)=

3-sinθ

cosθ

，則g′（θ）=

3sinθ-1

cos2θ

，由此能求出施工總費(fèi)用的最小值．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由已知可得△ABC為等邊三角形．
因?yàn)镃D⊥AD，所以水下電纜的最短線路為CD．
過D作DE⊥AB于E，可知地下電纜的最短線路為DE、AB．（3分）
又CD=1，DE=

3

2

，AB=2，
故該方案的總費(fèi)用為
1×4+

3

2

×2+2×0.5=5+

3

．（萬元）            …（6分）
（Ⅱ）因?yàn)椤螪CE=θ，0≤θ≤

π

3

，
所以CE=EB=

1

cosθ

，ED=tanθ，AE=

3

-tanθ．（7分）
則y=

1

cosθ

×4+

1

cosθ

×2+（

3

-tanθ）×2
=2×

3-sinθ

cosθ

+2

3

，（9分）
令g(θ)=

3-sinθ

cosθ

，
則g′（θ）=

-cos2θ-(3-sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

3sinθ-1

cos2θ

，（10分）
因?yàn)?≤θ≤

π

3

，所以0≤sinθ≤

3

2

，
記sinθ1=

1

3

，θ1∈(0，

π

3

)，
當(dāng)0≤sinθ＜

1

3

，即0≤θ＜θ₁時(shí)，g′（θ）＜0，
當(dāng)

1

3

＜sinθ≤

3

2

，即θ1＜θ≤

π

3

時(shí)，g′（x）＞0，
所以g（θ）_min=g（θ₁）=

3- 1 3

2 2 3

=2

2

，
從而y≥4

2

+2

3

，（12分）
此時(shí)ED=tanθ₁=

2

4

，
因此施工總費(fèi)用的最小值為（4

2

+2

3

）萬元，其中ED=

2

4

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．