Question

如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點，過直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
（1）平面MENF⊥平面BDD′B′；
（2）當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時，四邊形MENF的面積最�。�
（3）四邊形MENF周長L=f（x），x∈[0，1]，則y=f（x+

1

2

）是偶函數(shù)；
（4）四棱錐C′-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)；
以上命題中真命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：平行投影及平行投影作圖法

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD′B′．②四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可．③求出周長的解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶定義即可．④求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷．

解答：解：①連結(jié)BD，B′D′，則由正方體的性質(zhì)可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以（1）正確．
②連結(jié)MN，因為EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時當(dāng)M為棱的中點時，即x=

1

2

時，此時MN長度最小，對應(yīng)四邊形MENF的面積最小．所以（2）正確．
③因為EF⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．函數(shù)L=f（x）=4

(x- 1 2 )2+1

，y=f（x+

1

2

）=4

x2+1

，（x∈[-

1

2

，

1

2

]）為偶函數(shù)，故所以（3）正確．
④連結(jié)C′E，C′M，C′N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐．因為三角形C′EF的面積是個常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個常數(shù)，所以四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以（4）正確．
故答案為（1）（2）（3）（4）

點評：本題考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題和函數(shù)進(jìn)行的有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強，設(shè)計巧妙，對學(xué)生的解題能力要求較高．