Question

設(shè)△ABC的三內(nèi)角A，B，C 所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量

p

=（a+c，b），

q

=（b-a，c-a）且

p

，

q

平行．
（1）求角C的大小；         
（2）記

a+b

c

=λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示和余弦定理，即可得到角C；
（2）運(yùn)用正弦定理和兩角和差的正弦公式化簡，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答： 解：（1）由于向量

p

=（a+c，b），

q

=（b-a，c-a）且

p

，

q

平行，
則（a+c）（c-a）=b（b-a），即a²+b²-c²=ab，
由余弦定理可得，cosC=

1

2

，
C為三角形的內(nèi)角，則C=60°；                                      
（2）由正弦定理可得，λ=

a+b

c

=

sinA+sinB

sinC

=

2

3

[sinA+sin（120°-A）]=

2

3

（sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA）
=

3

sinA+cosA=2sin（A+30°），
由0°＜A＜120°，則30°＜A+30°＜150°，
則

1

2

＜sin（A+30°）≤1，
即有λ∈（1，2]．

點(diǎn)評：本題考查向量的共線的坐標(biāo)表示，考查余弦定理和正弦定理的運(yùn)用，考查兩角和差的正弦公式一級(jí)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．