Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=a_n²+2a_n，n∈N*，設(shè)b_n=log₂（a_n+1）．
（I）求{a_n}的通項公式；
（II）求證：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{_{n}-1}$＜n（n≥2）；
（III）若${2^{c_n}}$=b_n，求證：2≤${（\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}）^n}$＜3．

Answer 1

分析 （I）由題意可知：${a_{n+1}}={a_n}^2+2{a_n}$，${a_{n+1}}+1={a_n}^2+2{a_n}+1=（{a_n}+1{）^2}$，兩邊取對數(shù)，即可求得b_n+1=2b_n，則{b_n}是以2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式即可求得a_n，代入即可求得a_n；
（II）利用數(shù)學(xué)歸納法即可求證1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{_{n}-1}$＜n（n≥2）；
（III）．證明：由${2^{c_n}}={b_n}$得c_n=n，${（\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}）^n}={（\frac{1+n}{n}）^n}={（1+\frac{1}{n}）^n}$，利用二項式定理展開，${（1+\frac{1}{n}）^n}=C_n^0+C_n^1\frac{1}{n}+C_n^2\frac{1}{n^2}+…+C_n^k\frac{1}{n^k}+…+C_n^n\frac{1}{n^n}$$＜1+1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=3-\frac{1}{n}＜3$，當(dāng)n=1時顯然成立．所以得證．

解答 解：（I）由${a_{n+1}}={a_n}^2+2{a_n}$，則${a_{n+1}}+1={a_n}^2+2{a_n}+1=（{a_n}+1{）^2}$，
由a₁=3，則a_n＞0，兩邊取對數(shù)得到${log_2}（{a_{n+1}}+1）={log_2}（{a_n}+1{）^2}=2{log_2}（{a_n}+1）$，即b_n+1=2b_n（2分）
又b₁=log₂（a₁+1）=2≠0，
∴{b_n}是以2為公比的等比數(shù)列．
即${b_n}={2^n}$（3分）
又∵b_n=log₂（a_n+1），
∴${a_n}={2^{2^n}}-1$（4分）
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1^o當(dāng)n=2時，左邊為$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}＜2$=右邊，此時不等式成立；    （5分）
2^o假設(shè)當(dāng)n=k≥2時，不等式成立，
則當(dāng)n=k+1時，左邊=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{{{2^k}-1}}+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{{{2^k}+1}}+…\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}$（6分）
$＜k+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{{{2^k}+1}}+…\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}$$＜k+\overbrace{\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k}+…\frac{1}{2^k}}^{{2^k}個}$＜k+1=右邊
∴當(dāng)n=k+1時，不等式成立．
綜上可得：對一切n∈N^*，n≥2，命題成立．（9分）
（3）證明：由${2^{c_n}}={b_n}$得c_n=n，
∴${（\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}）^n}={（\frac{1+n}{n}）^n}={（1+\frac{1}{n}）^n}$，
首先${（1+\frac{1}{n}）^n}=C_n^0+C_n^1\frac{1}{n}+C_n^2\frac{1}{n^2}+…+C_n^k\frac{1}{n^k}+…+C_n^n\frac{1}{n^n}≥2$，（10分）
其次∵$C_n^k\frac{1}{n^k}=\frac{n（n-1）…（n-k+1）}{{k!{n^k}}}＜\frac{1}{k!}≤\frac{1}{k（k-1）}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}（k≥2）$，
∴${（1+\frac{1}{n}）^n}=C_n^0+C_n^1\frac{1}{n}+C_n^2\frac{1}{n^2}+…+C_n^k\frac{1}{n^k}+…+C_n^n\frac{1}{n^n}$，
$＜1+1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=3-\frac{1}{n}＜3$，
當(dāng)n=1時顯然成立．所以得證．（15分）

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列通項公式，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)歸納法求證不等式成立，二項式定理，考查計算能力，屬于難題．