Question

14．已知直線y=$\frac{1}{e}$是函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{e^x}$的切線（其中e=2.71828…）．
（I）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對任意的x∈（0，2），都有f（x）＜$\frac{m}{{2x-{x^2}}}$成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）=lnf（x）-b的兩個零點為x₁，x₂，證明：g′（x₁）+g′（x₂）＞$g'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切點坐標(biāo)，從而求出a的值即可；
（Ⅱ）分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為$m＞\frac{{2{x^2}-{x^3}}}{e^x}$對任意x∈（0，2）都成立，令$h（x）=\frac{{2{x^2}-{x^3}}}{e^x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最大值，從而求出m的范圍即可；
（Ⅲ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到${x_2}-{x_1}=ln\frac{x_2}{x_1}$，令$\frac{x_2}{x_1}=t＞1$，則x₂=tx₁，則tx₁-x₁=lnt，問題轉(zhuǎn)化為證明即證$t-\frac{1}{t}-\frac{2（t-1）}{t+1}-lnt＞0$令φ（t）=t-$\frac{1}{t}$-$\frac{2（t-1）}{t+1}$-lnt，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$f'（x）=\frac{a（1-x）}{e^x}$，設(shè)切點（${x_{0，}}\frac{1}{e}$）
所以f'（x₀）=0，得x₀=1．則$\frac{1}{e}=\frac{a}{e}$，∴a=1…（3分）
（Ⅱ）由（1）知$f（x）=\frac{x}{e^x}＜\frac{m}{{2x-{x^2}}}$對任意x∈（0，2）都成立，
∵2x-x²＞0，即$m＞\frac{{2{x^2}-{x^3}}}{e^x}$對任意x∈（0，2）都成立，…（5分）
令$h（x）=\frac{{2{x^2}-{x^3}}}{e^x}$，…（6分）$h'（x）=\frac{x（x-1）（x-4）}{e^x}=0，x=1$，
∴x∈（0，1），h'（x）＞0；∴x∈（1，2），h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上單增，（1，2）上單減，…（7分）
∴$h{（x）_{max}}=h（1）=\frac{1}{e}$，∴$h（x）≤h（1）=\frac{1}{e}$，…（8分）∴$m＞\frac{1}{e}$…（9分）
（Ⅲ）證明：由題意知函數(shù)g（x）=lnx-x-b，所以$g'（x）=\frac{1}{x}-1$，
因為x₁，x₂是函數(shù)g（x）的兩個零點，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+b=ln{x_1}\\{x_2}+b=ln{x_2}\end{array}\right.$，相減得${x_2}-{x_1}=ln\frac{x_2}{x_1}$，…（10分）
不妨令$\frac{x_2}{x_1}=t＞1$，則x₂=tx₁，則tx₁-x₁=lnt，
所以${x_1}=\frac{1}{t-1}lnt$，${x_2}=\frac{t}{t-1}lnt$，…（11分）
要證g'（x₁）+g'（x₂）$＞g'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$
只要證$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}＞\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}+1$
只要證$\frac{t-1}{lnt}+\frac{t-1}{tlnt}＞\frac{2（t-1）}{（1+t）lnt}+1$…（12分）
即證$t-\frac{1}{t}-\frac{2（t-1）}{t+1}-lnt＞0$
令$φ（t）=t-\frac{1}{t}-\frac{2（t-1）}{t+1}-lnt$，
$φ'（t）=1+\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}-\frac{4}{{{{（t+1）}^2}}}=\frac{{{t^4}+{t^3}-4{t^2}+t+1}}{{{t^2}{{（1+t）}^2}}}$
令m（t）=t⁴+t³-4t²+t+1，m'（t）=4t³+3t²-8t+1，
m''（t）=12t²+6t-8＞0對t＞1恒成立，
∴m'（t）在（1，+∞）上單增，∴m'（t）＞m'（1）=0，
∴m（t）在（1，+∞）上單增，∴m（t）＞m（1）=0，
即φ'（t）＞0∴φ（t）在（1，+∞）上單增，
∴φ（t）＞φ（1）=0，即原不等式成立．…（14分）

點評 本題考查了曲線的切線問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查換元思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．