Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=1-a_n，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₄a₁+log₄a₂+…+log₄a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）判斷數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項公式．
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，化簡數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}\right\}$的通項公式，然后求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=1-a_n，
可得S_n-1=1-a_n-1，兩式相減可得：2a_n=a_n-1，所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列公比為：$\frac{1}{2}$，S₁=1-a₁，
首項為：$\frac{1}{2}$，
a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
（2）b_n=log₄a₁+log₄a₂+…+log₄a_n=log₄（a₁a₂…+a_n）
=log₄$（\frac{1}{2}）^{1+2+3+…+n}$=$-\frac{n（n+1）}{4}$．
數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}\right\}$的通項公式為：2ⁿ-$\frac{4}{n（n+1）}$，

數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項和T_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-$4（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-4（1-$\frac{1}{n+1}$）
=${2}^{n+1}+\frac{4}{n+1}-6$．

點評 本題考查數(shù)列求和，等差數(shù)列以及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力．