Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，F(xiàn)（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）x＞0}\\{-f（x）x＜0}\end{array}\right.$，求F（2）+F（-2）的值；
（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在區(qū)間（0，1]恒成立，試求b取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）最小值是f（-1）=0，且c=1，求出a，b，c的值，即可求F（2）+F（-2）的值；
（2）由于函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），且a=1，c=0，所以f（x）=x²+bx，進而在滿足|f（x）|≤1在區(qū)間（0，1]恒成立時，求出即可．

解答 解：（1）因為f（x）最小值是f（-1）=0，且c=1
所以$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-1}\\{f（-1）=a-b+1=0}\end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
因為 F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）x＞0}\\{-f（x）x＜0}\end{array}\right.$，
所以F（2）+F（-2）=8．
（2）由題知f（x）=x²+bx，原命題等價于-1≤x²+bx≤1在x∈（0，1]恒成立，
即b≤$\frac{1}{x}$-x且b≥-$\frac{1}{x}$-x在x∈（0，1]恒成立，
根據(jù)單調(diào)性可得$\frac{1}{x}$-x的最小值為0，
-$\frac{1}{x}$-x的最大值為-2，
所以-2≤b≤0．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及不等式恒成立問題，運算量較大，綜合性較強，難度較大．