Question

設(shè)f（x）=2asinxcosx+2bcos²x-b，（a，b∈R⁺）若f（x）≤f（

π

6

）對(duì)一切x∈R恒成立，給出下列結(jié)論：
①f（-

π

12

）=0； ②f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

5π

12

，0）對(duì)稱；
③f（x）的圖象關(guān)于直線x=

5π

12

對(duì)稱；
④f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
⑤f（x）與g(x)=cos(2x-

π

3

)的單調(diào)區(qū)間相同．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

①②⑤

．（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析：化簡(jiǎn)f（x）的解析式，利用已知條件中的不等式恒成立，得f（

π

6

） 是三角函數(shù)的最大值，得到x=

π

6

是三角函數(shù)的對(duì)稱軸，由此可求出輔助角θ，再通過整體處理的思想研究函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷．

解答：解：f（x）=2asinxcosx+2bcos²x-b=asin2x+bcos2x
=

a2+b2

sin（2x+θ），其中tanθ=

b

a

，所以周期T=π，
又f（x）≤f（

π

6

）對(duì)一切x∈R恒成立，
故x=

π

6

處為最大值點(diǎn)，即x=

π

6

為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，
故2×

π

6

+θ=kπ+

π

2

，解得θ=kπ+

π

6

，k∈Z，
故f（x）=

a2+b2

sin（2x+kπ+

π

6

）=±

a2+b2

sin（2x+

π

6

），
又x=

π

6

處為最大值點(diǎn)，故f（x）=

a2+b2

sin（2x+

π

6

），
故①f（-

π

12

）=）=

a2+b2

sin0=0，故正確；
②由2x+

π

6

=kπ，可得x=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z，當(dāng)k=1時(shí)，x=

5π

12

，故圖象關(guān)于點(diǎn)（

5π

12

，0）對(duì)稱，故正確；
③由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，可得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，令

kπ

2

+

π

6

=

5π

12

，解得k=

1

8

∉Z，故x=

5π

12

不是對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤；
④由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，故的函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），故錯(cuò)誤；
⑤函數(shù)f（x）=

a2+b2

sin（2x+

π

6

）=

a2+b2

cos（

π

2

-2x-

π

6

）=

a2+b2

cos（

π

3

-2x）=

a2+b2

cos（2x-

π

3

），故函數(shù)f（x）與g(x)=cos(2x-

π

3

)的單調(diào)區(qū)間相同，故正確．
故答案為：①②⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸過三角函數(shù)的最值點(diǎn)、考查研究三角函數(shù)的性質(zhì)常用整體處理的思想方法，屬中檔題．