Question

(本小題滿分14分）

已知函數(shù)為常數(shù))是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)

在區(qū)間上是減函數(shù)．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（Ⅲ）若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）是實(shí)數(shù)集上奇函數(shù)，

，即   ……2分．

將帶入，顯然為奇函數(shù)．         ……3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

要使是區(qū)間上的減函數(shù)，則有在恒成立，，所以．           ……5分

要使在上恒成立，

只需在時(shí)恒成立即可．

(其中)恒成立即可． ………7分

令，則即

，所以實(shí)數(shù)的最大值為              ………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程，即，

令

當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，．     ………………11分

而

當(dāng)時(shí)是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，． ………………12分

只有當(dāng)，即時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根． …………14分

考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評：近幾年新課標(biāo)高考對于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這一綜合問題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對數(shù)）函數(shù)的組合復(fù)合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時(shí)要注意對數(shù)式對函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點(diǎn)考查函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、不等式方程的求解等基本知識，注重?cái)?shù)學(xué)思想（分類與整合、數(shù)與形的結(jié)合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運(yùn)用.把數(shù)學(xué)運(yùn)算的“力量”與數(shù)學(xué)思維的“技巧”完美結(jié)合