Question

13．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{25}$=1的兩個焦點為F₁、F₂
（1）若點P在橢圓上，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，求△F₁PF₂的面積；
（2）若AB是經(jīng)過橢圓中心的一條弦，求△F₁AB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)橢圓的方程求得c，進而求得|F₁F₂|，設(shè)出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面積公式求解；
（2）運用△F₁AB面積為${S}_{△AO{F}_{1}}$+${S}_{△BO{F}_{1}}$=4m，由橢圓的范圍可得m的最大值為3，即可得到所求．

解答 解：（1）∵a=5，b=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=4．
設(shè)|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則由橢圓的定義可得：t₁+t₂=10①
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，
∴t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos$\frac{π}{3}$=64②，
由①²-②得t₁t₂=12，
∴S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$；
（2）設(shè)A（m，n），B（-m，-n），（m＞0），
則△F₁AB面積為${S}_{△AO{F}_{1}}$+${S}_{△BO{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•|OF₁|•（m+m）=cm=4m，
由橢圓的范圍可得，m最大為3，
即有△F₁AB面積的最大值為12．

點評 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的標準方程、橢圓的定義和范圍，熟練利用解三角形的一個知識求解問題．