Question

5．已知a＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+|lnx-a|，x∈[1，e²]．
（1）當a=3時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；
（2）若f（x）≤$\frac{3}{2}$恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=3時，化簡f（x）=$\frac{3}{x}$+|lnx-3|=$\frac{3}{x}$-lnx+3，x∈[1，e²]；從而求導(dǎo)，再求切線方程；
（2）由題意得，$\frac{a}{x}$+|lnx-a|≤$\frac{3}{2}$，分a≥2與0＜a＜2討論求函數(shù)的最值，從而化恒成立問題為最值問題即可．

解答 解：（1）當a=3時，f（x）=$\frac{3}{x}$+|lnx-3|=$\frac{3}{x}$-lnx+3，x∈[1，e²]；
故f（3）=1-ln3+3=4-ln3，
f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，f′（3）=-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$=-$\frac{2}{3}$；
故曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程為y-（4-ln3）=-$\frac{2}{3}$（x-3），
即2x+3y-18+3ln3=0．
（2）由題意得，$\frac{a}{x}$+|lnx-a|≤$\frac{3}{2}$，
當a≥2時，上式可化為$\frac{a}{x}$-lnx+a≤$\frac{3}{2}$恒成立，
且$\frac{a}{x}$-lnx+a在[1，e²]上是減函數(shù)，
故只需使a+a≤$\frac{3}{2}$，無解；
當0＜a＜2時，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x}+lnx-a，x∈[{e}^{a}，{e}^{2}]}\\{\frac{a}{x}-lnx+a，x∈[1，{e}^{a}]}\end{array}\right.$，
故f（x）在[1，e^a]上是減函數(shù)，在[e^a，e²]上是增函數(shù)，
故只需使$\left\{\begin{array}{l}{a+a≤\frac{3}{2}}\\{\frac{a}{{e}^{2}}+2-a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
解得$\frac{{e}^{2}}{2（{e}^{2}-1）}$≤a≤$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．