Question

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x、y滿足f（x-y）=f（x）•g（y）-g（x）•f（y），且f（-2）=f（1）≠0，則g（1）+g（-1）=

1. A.
   -1
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   -2

Answer 1

A
分析：先采用賦值法，求出f（0）=0，g（0）=1，然后在已知等式中取x為0，即可證出函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，最后取x=1，y=-1代入已知等式，結(jié)合前面求出的數(shù)據(jù)，變形整理可得f（1）[g（-1）+g（1）+1]=0，結(jié)合已知條件可得g（1）+g（-1）=-1．
解答：令x=y=0，代入已知等式得f（0）=f（0）g（0）-g（0）f（0）=0，得f（0）=0，
再令y=0，x=1，代入已知等式得f（1）=f（1）g（0）-g（1）f（0），可得f（1）[1-g（0）]=g（1）f（0）=0，
結(jié)合f（1）≠0得1-g（0）=0，g（0）=1
再令x=0，代入已知等式得f（-y）=f（0）g（y）-g（0）f（y），
將f（0）=0，g（0）=1代入上式，得f（-y）=-f（y），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
再令x=1，y=-1代入已知等式，得f（2）=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）
∵f（-1）=-f（1），
∴f（2）=f（1）[g（-1）+g（1）]
又∵f（2）=-f（-2）=-f（1）
∴-f（1）=f（1）[g（-1）+g（1）]，即f（1）[g（-1）+g（1）+1]=0
∵f（1）≠0，∴g（-1）+g（1）+1=0得g（1）+g（-1）=-1
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)特殊函數(shù)為例，叫我們求一對(duì)互為相反數(shù)的自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的和，考查了函數(shù)的奇偶性和賦值法在抽象函數(shù)中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．抽象函數(shù)性質(zhì)的探究，賦值是一個(gè)主要的手段