Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上的一點，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等比數(shù)列，則橢圓的離心率的取值范圍為（　�。�

• A．[

  1

  2

  ，

  2

  2

  ]
• B．[

  5

  -1，

  1

  2

  ]
• C．[

  2

  -1，

  1

  2

  ]
• D．[

  5

  5

  ，

  1

  2

  ]

Answer 1

分析：由題意得|F₁F₂|²=|PF₁|•|PF₂|，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），利用橢圓的第二定義得|PF₁|=a+em且|PF₂|=a-em．代入前面的式子整理得e²m²=a²-4c²，根據(jù)0≤m²≤a²化簡得0≤a²-4c²≤e²a²，將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于離心率e的不等式，解之即可得到橢圓的離心率的取值范圍．

解答：解：設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），
∵P是橢圓上的一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左右焦點，
∴由橢圓的第二定義，得|PF₁|=a+em，|PF₂|=a-em，
∵|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等比數(shù)列，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|•|PF₂|，即4c²=（a+em）（a-em）
可得4c²=a²-e²m²，即e²m²=a²-4c²，
∵0≤m²≤a²，可得0≤e²m²≤e²a²，∴0≤a²-4c²≤e²a²，
各項都除以a²得0≤1-4e²≤e²，解之得

1

5

≤e²≤

1

4

，
∴

5

5

≤e≤

1

2

，即橢圓的離心率的取值范圍為[

5

5

，

1

2

]．
故選：D

點評：本題給出橢圓上一點P與兩個焦點的連線段恰好以焦距為等比中項，求橢圓離心率的范圍．著重考查了等比中項的性質(zhì)、橢圓的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．