Question

11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知A=$\frac{π}{4}$，cosB-cos2B=0．
（1）求C的大�。�
（2）若a²+c²=b-ac+2，求c及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二倍角公式求得cosB的值，可得B的值，從而求得C的值．
（2）由余弦定理可得得b²=a²+c² +ac，再結(jié)合a²+c²=b-ac+2，求得b的值，由正弦定理可求c，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵cosB-cos2B=cosB-2cos²B+1=0，
∴cosB=1或cosB=-$\frac{1}{2}$，
∴B=0（舍去），或B=$\frac{2π}{3}$．
由B=$\frac{2π}{3}$，A=$\frac{π}{4}$，可得C=$\frac{π}{12}$．
（2）∵由余弦定理可得b²=a²+c² -2ac•cosB=a²+c² +ac．
再由a²+c²=b-ac+2，可得b²=b+2，
∴解得 b=2，或b=-1（舍去）．
∴由正弦定理可得：c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{2×sin\frac{π}{12}}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{2×\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{2\sqrt{3}-3}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×$$\frac{2\sqrt{2\sqrt{3}-3}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2\sqrt{6}-3\sqrt{2}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式以及特殊角的三角函數(shù)值，二倍角公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．