Question

16．已知函數(shù)f（x）=a^x-x²（a＞0且a≠1）有兩個(gè)正數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，${e}^{\frac{2}{e}}$）．

Answer 1

分析 作函數(shù)y=a^x與y=x²的圖象，從而可得a＞1，再假設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-x²（a＞0且a≠1）至多有一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)，從而可得a≥${e}^{\frac{2}{e}}$；從而解得．

解答 解：作函數(shù)y=a^x與y=x²的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，a＞1；
假設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-x²（a＞0且a≠1）至多有一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)，
則a^x≥x²恒成立，
即xlna≥2lnx恒成立；
即lna≥$\frac{2lnx}{x}$恒成立；
令F（x）=$\frac{2lnx}{x}$，則F′（x）=2•$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$；
故F（x）_max=F（e）=$\frac{2}{e}$；
故lna≥$\frac{2}{e}$；
故a≥${e}^{\frac{2}{e}}$；
故使函數(shù)f（x）=a^x-x²（a＞0且a≠1）有兩個(gè)正數(shù)零點(diǎn)，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，${e}^{\frac{2}{e}}$）；
故答案為：（1，${e}^{\frac{2}{e}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于難題．