Question

19．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₂=6，S₄=30，n∈N^*，數(shù)列{b_n}滿足b_n•b_n+1=a_n，b₁=1
（I）求a_n，b_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比均為2，可得a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；再由n換為n+1，可得數(shù)列{b_n}中奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)均為公比為2的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求b_n；
（Ⅱ）討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，運(yùn)用分組求和和等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（I）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），
由題意可得a₁+a₁q=6，a₁+a₁q+a₁q²+a₁q³=30，
解得a₁=q=2（負(fù)的舍去），
可得a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
由b_n•b_n+1=a_n=2ⁿ，b₁=1，
可得b₂=2，
即有b_n+1•b_n+2=a_n=2ⁿ⁺¹，
可得$\frac{_{n+2}}{_{n}}$=2，
可得數(shù)列{b_n}中奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)均為公比為2的等比數(shù)列，
即有b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，n為奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，前n項(xiàng)和為T_n=（1+2+..+${2}^{\frac{n-2}{2}}$）+（2+4+..+${2}^{\frac{n}{2}}$）
=$\frac{1-{2}^{\frac{n}{2}}}{1-2}$+$\frac{2（1-{2}^{\frac{n}{2}）}}{1-2}$=3•（$\sqrt{2}$）ⁿ-3；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，前n項(xiàng)和為T_n=T_n-1+${2}^{\frac{n-1}{2}}$
=3•（$\sqrt{2}$）^n-1-3+${2}^{\frac{n-1}{2}}$=（$\sqrt{2}$）ⁿ⁺³-3．
綜上可得，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{2}）^{n+3}-3，n為奇數(shù)}\\{3•（\sqrt{2}）^{n}-3，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．