Question

3．函數(shù)f（x）=2（x-1）sinπx-1在區(qū)間[-2012，2014]內(nèi)所有零點之和為（　�。�

• A． 2012
• B． 4024
• C． 2014
• D． 4025

Answer 1

分析 設(shè) f（x）=$\frac{1}{x-1}$，g（x）=2sinπx，此題是求以上兩個函數(shù)的交點的橫坐標的和的問題．從x=2開始，在每個周期上，f（x） 和 g（x）都有兩個交點，在區(qū)間[2，2014]上，函數(shù)g（x） 共有1006個周期，因此和函數(shù)f（x）有2012個交點，因此在區(qū)間[-2012，0]上也有2012個交點．m是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標，則2-m也是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標，因為一共有2012對這樣的交點，故所有根之和等于2×2012=4024

解答 解：函數(shù)f（x）=2（x-1）sinπx-1的零點，
即方程2（x-1）sinπx-1=0的根，
即方程2sinπx=$\frac{1}{x-1}$的根，
由f（x）=$\frac{1}{x-1}$，g（x）=2sinπx的圖象均關(guān)于（1，0）點對稱，
且在g（x）=2sinπx的每一個周期上均有兩個交點，
故從x=2開始，在每個周期上，f（x） 和 g（x）都有兩個交點，
在區(qū)間[2，2014]上，函數(shù)g（x） 共有1006個周期，因此和函數(shù)f（x）有2012個交點，
因此在區(qū)間[-2012，0]上也有2012個交點，
且對每一個交點，相對于（1，0）中心對稱的點也是兩個函數(shù)的交點．
而每對這樣的交點之和為2，即若m是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標，則2-m也是兩個函數(shù)的一個交點的橫坐標，
因為一共有2012對這樣的交點．
所以，在區(qū)間[-2012，2014]上，兩個函數(shù)所有交點的橫坐標的和為2012×2=4024，
故選：B

點評 本題考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，屬于中檔題