Question

13．如圖1，在四棱錐P-ABCD中PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M為側(cè)棱PD上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖與側(cè)（左）視圖如圖2所示．


（Ⅰ）證明：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）證明：AM∥平面PBC；
（Ⅲ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用俯視圖和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥PD，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）取PC上一點(diǎn)Q，使PQ：PC=1：4，連接MQ，BQ．利用左視圖和平行線分線段成比例的判定和性質(zhì)即可得出MQ∥CD，MQ=$\frac{1}{4}$CD．
再利用平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得出AM∥BQ，利用線面平行的判定定理即可證明．
（Ⅲ）利用棱錐的體積公式，即可求四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：由俯視圖可得，BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD．
又∵PD⊥平面ABCD，
∴BC⊥PD，
又∵BD∩PD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）證明：取PC上一點(diǎn)Q，使PQ：PC=1：4，連接MQ，BQ．
由左視圖知 PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，MQ=$\frac{1}{4}$CD．
在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．
又 BD=2，∴AB=1，AD=$\sqrt{3}$．
又∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{4}$CD，
∴AB∥MQ，AB=MQ．
∴四邊形ABQM為平行四邊形，
∴AM∥BQ．
∵AM?平面PBC，BQ?平面PBC，
∴直線AM∥平面PBC．
（Ⅲ）解：∵底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AD⊥AB，AB=1，CD=4，AD=$\sqrt{3}$，
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}•（1+4）•\sqrt{3}$，
∵PD⊥底面ABCD，PD=4，
∴V=$\frac{1}{3}$•S_ABCD•PD=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•（1+4）•\sqrt{3}•4$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握由三視圖得到線面位置關(guān)系和數(shù)據(jù)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定和性質(zhì)定理、求四棱錐P-ABCD的體積是解題的關(guān)鍵．