Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，FA⊥平面ABCD，EF∥BC，FA=2，AD=3，∠ADE=45°，點G是FA的中點．
（1）求證：EG⊥平面CDE；
（2）在棱BC是否存在點M，使GM∥平面CDE，若存在，找出點M；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證EG⊥平面CDE，根據線面垂直的判定定理可知在平面CDE內找兩條相交直線與EG垂直即可，而EG⊥DE，CD⊥EG，CD∩DE=D，滿足定理所需條件；
（2）在BC存在點M，BC=3BM，使GM∥平面CDE，取DE中點H，連接GM、GH、CH，可證四邊形CHGM是平行四邊形，則GM∥CH，滿足線面平行的判定定理，從而GM∥平面CDE．
解答：證明：（1）∵EF∥BC，AD∥BC，∴EF∥AD．
在四邊形ADEF中，由FA=2，AD=3，∠ADE=45°，可證得EG⊥DE，
又由FA⊥平面ABCD，得AF⊥CD，
∵正方形ABCD中CD⊥AD，∴CD⊥平面ADEF，
∵EG?平面ADEF，∴CD⊥EG，
∵CD∩DE=D，∴EG⊥平面CDE；…（6分）
（2）在BC存在點M，BC=3BM，使GM∥平面CDE
取DE中點H，連接GM、GH、CH，
∵在梯形ADEF中，G是AF中點，
∴，GH∥AD，
∵BC∥AD，BC=AD=3，BC=3BM，∴CM=2=GH，GH∥CM，
∴四邊形CHGM是平行四邊形
∴GM∥CH，∴GM∥平面CDE．
點評：本題主要考查了線面垂直的判定和線面平行的判定，同時考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．