Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對于任意x₁、x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），若g（x）=log₂f（x），則g（x）的圖象可以是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，利用賦值法，先求出f（0）=1，即g（0）=0，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得g（x）在其定義域上為增函數(shù)，問題的以判斷．

解答： 解：∵g（x）=log₂f（x），
∴f（x）＞0
任意x₁、x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），
令x₁=x₂=0，則f（0）=f（0）•f（0），
∴f（0）=1，
∴g（0）=log₂f（0）=0，
∴g（x）的圖象通過原點(diǎn)，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，而y=log₂x也是單調(diào)函數(shù)，
∴g（x）=log₂f（x）再其定義域上也為單調(diào)函數(shù)．
只有選項(xiàng)C符合，
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及利用賦值法解決抽象函數(shù)，屬于中檔題．